Вопрос об устойчивости разрешается первым приближением

Какие же выводы можно сделать из рассмотрения этих двух примеров? Оказывается, устойчивость невозмущенного движения зависит не от него самого, а от поведения соседних возмущенных движений. В наших простейших примерах известно было как основное, невозмущенное движение, так и соседние, возмущенные движения. Именно поэтому мы смогли столь легко ответить на вопрос об устойчивости невозмущенного движения. 

К сожалению, в более сложных задачах известно только невозмущенное движение, а соседние неизвестны. Но ведь устойчивость зависит от поведения именно этих, неизвестных нам соседних движений. Академик А. М. Ляпунов разработал особые методы для решения подобных задач. 

До Ляпунова об устойчивости судили примитивно, по первому приближению. Это значит, что уравнения движения упрощали, отбрасывая часть членов. Делалось это для облегчения решения задачи. Таким образом, вместо данного движения, о соседних траекториях которого ничего не известно, рассматривали другое движение, похожее на него в некотором смысле, для которого известны все соседние движения. 

При этом думали, что раз похожи друг на друга основные невозмущенные движения, то сходны и соседние, возмущенные, по которым, собственно, и судят об устойчивости основных движений. 

Отсюда делали вывод, что невозмущенные движения одинаково устойчивы (или неустойчивы) при описании их полными уравнениями и упрощенными. 

Однако дело обстоит не так. Бывают случаи, когда невозмущенные движения хотя и совпадают при полных и упрощенных уравнениях, соседние движения ведут себя принципиально по-разному. Действительно, обратимся к примерам с движением шарика по наклонной плоскости и по трубе. 

Можно ли судить об устойчивости движения по трубе, зная, что более простое движение по плоскости — устойчиво? Когда радиус трубы значителен, то весьма небольшой ее участок поверхности мало отличается от касательной к ней плоскости. Поэтому естественно было бы «упростить» задачу и движение шарика по трубе заменить движением по касательной плоскости. Основная, невозмущенная траектория у этих задач совпадает. Однако соседние к ней траектории на плоскости и на трубе имеют различный характер; первая всегда параллельна невозмущенной, а вторая по немногу от ходит от нее. Поэтому мы говорим, что движение по плоскости устойчиво, а по трубе неустойчиво, Следовательно, заменив одну задачу другой, мы бы тем самым подменили неустойчивость устойчивостью! Так, конечно, поступать нельзя. 

Естественно, что очень важно было выяснить, когда устойчивость сохраняется при упрощениях, или, как говорят, когда вопрос об устойчивости разрешается первым приближением. 

Сделал это замечательный ученый А. М. Ляпунов, разнообразные и глубокие исследования которого изложены в книге «Общая задача об устойчивости движения» (вышла в 1892 году).

Методы Ляпунова — Четаева

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *