Математическая теория на основе устойчивости

Другое необъясненное слово в нашем первоначальном определении — «слабо». В каждом случае это понятие имеет различный смысл. Так, для игры в настольный теннис отклонение мячика под действием ветра на 20 сантиметров — это уже много, а отклонение искусственного спутника на 20 метров от заданной орбиты — это очень мало. Поэтому слово «слабо» в определении нужно заменить другими словами, имеющими одинаковый смысл для любой задачи. 

Наконец надо выяснить, что такое «возмущение». 

Раньше мы называли возмущениями все то, что может вызвать отклонение действительного движения от намеченного. 

Представим себе шарик, скатывающийся по наклонной плоскости из заданной точки. Пустим теперь его из соседней точки. Тогда он будет двигаться по другой траектории, которую назовем возмущенной. Но шарик может начать движение с заданной точки, а по пути мы толкнем его вбок — он покатится уже по другой, тоже возмущенной траектории. В первом случае говорят, что имеются возмущения начальных данных (другая начальная точка) и нет возмущающих сил, а во втором есть возмущающие силы (толчок в пути) и нет начальных возмущений. 

Какие же возмущения следует вводить в определение устойчивости: начальные, возмущающие силы или те и другие? Конечно, было бы хорошо, если бы определение охватывало все возможные случаи: ведь в действительности существуют возмущения обоих типов. Но, оказывается, если мы настолько расширим определение, то будет трудно создать теорию устойчивости. Поэтому нужно выделить главное и на основе такого определения создать теорию, постаравшись распространить ее методы, на другие случая, оставленные в стороне. 

Первым, кто дал ясное определение устойчивости и кто создал на основе этого определения точную математическую теорию, был выдающийся русский ученый, академик Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918). 

Проиллюстрируем его определение устойчивости на примере. Вообразите, что вам удалось так хорошо закрутить волчок, что он вертится все время в одной точке стола. Будем называть это вращение волчка невозмущенным движением. Щелкните по волчку — он перескочит в другую точку и начнет потом как-то двигаться по столу. Больше его не трогайте и считайте момент щелчка за начальный. Тогда мы будем говорить, что волчку даны возмущения начальных условий, а возмущающих сил нет. Мы уже указывали, как трудно определить, что такое сильное или слабое влияние возмущений.

Числом это определить вообще нельзя: ведь задачи могут быть совершенно несравнимыми. Нужно поэтому дать какое-то качественное определение. Ляпунов поступает следующим образом (продолжим пояснение на том же примере). Назначим какую-нибудь границу — круг на столе, из которого волчок не должен выходить. Возможны два случая.

Исследование устойчивости невозмущенного движения шарика

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *