Исследование устойчивости невозмущенного движения шарика

Если при любом начальном отклонении (как бы мало оно ни было) волчок все равно когда-нибудь выйдет за пределы заданного круга, то невозмущенное движение волчка (его вращение в начальной точке) называется неустойчивым. Если же около начальной точки существует такой маленький кружок, что при всех начальных отклонениях, находящихся внутри этого кружка, волчок никогда не выйдет за пределы заданного большого круга, то его невозмущенное движение называется устойчивым. 

Нужно еще уточнить, что параметром, по отношению к которому определяется устойчивость движения, является отклонение точки касания волчка со столом от центра круга. К этому добавим, что возмущающих сил нет и что движение должно происходить бесконечно долго. 

ТЕОРИЯ И ЕЕ ЗАТРУДНЕНИЯ 

Каким же образом можно судить об устойчивости движения? Зная теперь определение Ляпунова, вернемся к нашему примеру с шариком, скатывающимся с наклонной плоскости. Назовем «то движение невозмущенным. Будем возмущать начальные данные — отпускать шарик из соседних точек. При этом все траектории шарика окажутся параллельными прямыми. 

Устойчиво ли невозмущенное движение шарика по отношению к расстоянию между траекториями? Вспомним определение устойчивости и зададим какие-нибудь границы, за которые никогда не должны выходить траектории шарика (эти границы аналогичны большому кругу, который принимался для волчка). Так как траектории шарика — параллельные прямые, то очевидно, что если начальные точки лежат внутри пунктирных прямых, то и все траектории будут всегда лежать в пределах этих границ. Отсюда мы делаем заключение об устойчивости невозмущенного движения шарика на наклонной плоскости по отношению к расстоянию между траекториями. 

Пусть теперь шарик скатывается вдоль трубы по внешней поверхности. Если считать, что возмущающих сил нет, то шарик будет катиться по прямой (образующая трубы). Движение это назовем невозмущенным. Очевидно, что если даже немного изменить начальную точку и пускать шарик из других точек, то траекториями его будут расходящиеся кривые. Исследование устойчивости невозмущенного движения шарика по отношению к расстоянию между траекториями показывает, что как бы близко ни были взяты другие точки, все равно когда-нибудь новые траектории пересекут любые заданные границы. Другими словами, невозмущенное движение шарика, скатывающегося по трубе, неустойчиво по отношению к расстоянию между траекториями.

Вопрос об устойчивости разрешается первым приближением

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *