Что общего между механикой и оптикой

Подчеркивая эту особенность, Н. Г. Четаев выдвинул принцип, сформулированный им так: все явления, в действительности происходящие в природе, устойчивы. 

В одной из работ Четаев писал, что корни прекрасных результатов, достигнутых механикой в XIX веке, лежат в аналогии механики с оптикой. Он считал, что и для современных проблем эта аналогия играет не меньшую роль. 

Что же может быть общего между механикой и оптикой? 

В 30-х годах XIX столетия английский ученый Гамильтон показал, что основные уравнения механики имеют такой же вид, как и основные уравнения современной ему теории света Гюйгенса. А раз похожи основные уравнения, то должны быть похожи и те другие, которые следуют из основных. Сперва эти уравнения ученые нашли в оптике, потом их стали искать и находить в механике. 

Аналогия между механикой и оптикой служила средством для получения новых результатов в механике. 

Оптика развивалась. На смену теории Гюйгенса последовательно пришли волновые теории света Френеля, Коши, Максвелла. Естественно было попытаться продолжить аналогию между механикой и новыми оптическими теориями. 

Такую задачу поставил в середине XIX века французский ученый Коши, но решить ее не смог. 

Аналогию между механикой и «волновой» оптикой удалось установить Н. Г. Четаеву. Вот основные идеи, приведшие к такому результату. 

Во всех новых «волновых» теориях свет считают колебательным процессом. Поэтому в механике аналогию с оптикой нужно искать среди свойств колебательных движений. 

Представим себе маятник. Он относится к так называемым консервативным системам, то есть телам, у которых сохраняется полная энергия (сумма кинетической 

и потенциальной энергий). Следуя определению устойчивости и свойству консервативности, легко доказать, что состояние равновесия маятника устойчиво. Отклоним его (начальные возмущения) и отпустим — маятник будет качаться. Говоря иначе, возмущенные движения вблизи устойчивого равновесия консервативной системы имеют колебательный характер. А если мы имеем дело уже не с устойчивым равновесием, а с устойчивым движением? Н. Г. Четаев показал, что и вблизи устойчивого движения консервативной системы малые возмущенные движения тоже колеблются. 

На всякое тело, кроме известных и учитываемых сил, всегда действуют еще неизвестные нам малые возмущающие силы. Согласно принципу устойчивости, эти возмущающие силы разрушают всякое неустойчивое движение, сохраняя только устойчивые. Н. Г. Четаев нашел уравнение, которому должны подчиняться устойчивые движения консервативных систем. Оказалось, что это уравнение имеет «волновой» характер! Так была установлена аналогия с уравнением оптики. 

В природе движение не может, конечно, совершаться точно по устойчивой траектории. Всегда из- за малых возмущений существуют незначительные отклонения, и фактически движения происходят в малой области, обволакивающей устойчивую траекторию. Поэтому действительные траектории должны около нее колебаться — получается своего рода волна. 

Новую оптико-механическую аналогию Н. Г. Четаев не успел развить дальше. Смерть оборвала его работу. 

Сейчас еще трудно сказать, что именно удастся установить, пользуясь этой плодотворной идеей Четаева. Но, безусловно, новая аналогия поможет найти в механике явления, имеющие «волновой» характер. И с этой точки зрения труды Н. Г. Четаева открывают перед старейшей наукой — механикой — интересные возможности.

До луны рукой подать

Методы Ляпунова — Четаева

Работы Ляпунова опередили свое время. Техника тогда могла довольствоваться грубыми, приближенными методами. Книга Ляпунова была написана чисто математическим языком, без технических примеров, и инженеры ее не читали. Однако чем больше возрастала точность приборов, аппаратов, машин, чем они становились сложнее, тем очевиднее оказывалась непригодность старых методов теории устойчивости. Можно образно сказать, что старая техника всегда решала задачи о движении на плоскости, новой же технике пришлось заняться и движениями на трубе. 

Современная техника требует большей строгости, развития более точных математических приемов исследования. Одним из первых это понял молодой казанский ученый Николай Гурьевич Четаев. Еще в 20-х годах ему стало ясно огромное значение трудов Ляпунова. Однако для того, чтобы методы Ляпунова получили практическое приложение, нужно было проделать огромную работу: выяснить их область применения, приспособить к решению конкретных проблем, распространить на новые задачи, которые не охватываются теорией Ляпунова. 

Мы подробно говорили о ляпуновском определении устойчивости. В нем предполагается, что возмущающих сил нет и что движение происходит бесконечно долго. А как же быть, если исследуют, например, устойчивость полета самолета: ведь на самолет действуют возмущающие силы (например, ветер) и движение его длится всего несколько часов? 

Работами советского ученого Н. Г. Четаева и его сотрудников было показано, как нужно решать подобные задачи. До работ Четаева мало кто всерьез думал о применении математической теории Ляпунова. Сейчас же методы Ляпунова—Четаева проникли в различные отрасли техники: их используют для построения гироскопов и приборов автоматического регулирования, для решения ряда задач баллистики. 

ПЛОДОТВОРНАЯ АНАЛОГИЯ 

На любое тело всегда действуют малые возмущения. Поэтому если заклинить рули самолета, то он скоро врежется в землю. Только вмешательство пилота или автопилота удерживает самолет на курсе. Шофер не может надолго отпустить руль автомобиля даже на прямом шоссе, иначе он окажется в кювете. Подобных примеров можно привести очень много. 

Устойчивость в современной технике часто приходится поддерживать принудительно, поручая это специальным приборам или человеку. 

Если состояния тела неустойчивы, то возмущения разрушают эти состояния (самолет оказывается на земле, автомобиль — в кювете, карандаш, поставленный на острие, падает). Неустойчивость переходит в устойчивость. 

Вопрос об устойчивости разрешается первым приближением

Какие же выводы можно сделать из рассмотрения этих двух примеров? Оказывается, устойчивость невозмущенного движения зависит не от него самого, а от поведения соседних возмущенных движений. В наших простейших примерах известно было как основное, невозмущенное движение, так и соседние, возмущенные движения. Именно поэтому мы смогли столь легко ответить на вопрос об устойчивости невозмущенного движения. 

К сожалению, в более сложных задачах известно только невозмущенное движение, а соседние неизвестны. Но ведь устойчивость зависит от поведения именно этих, неизвестных нам соседних движений. Академик А. М. Ляпунов разработал особые методы для решения подобных задач. 

До Ляпунова об устойчивости судили примитивно, по первому приближению. Это значит, что уравнения движения упрощали, отбрасывая часть членов. Делалось это для облегчения решения задачи. Таким образом, вместо данного движения, о соседних траекториях которого ничего не известно, рассматривали другое движение, похожее на него в некотором смысле, для которого известны все соседние движения. 

При этом думали, что раз похожи друг на друга основные невозмущенные движения, то сходны и соседние, возмущенные, по которым, собственно, и судят об устойчивости основных движений. 

Отсюда делали вывод, что невозмущенные движения одинаково устойчивы (или неустойчивы) при описании их полными уравнениями и упрощенными. 

Однако дело обстоит не так. Бывают случаи, когда невозмущенные движения хотя и совпадают при полных и упрощенных уравнениях, соседние движения ведут себя принципиально по-разному. Действительно, обратимся к примерам с движением шарика по наклонной плоскости и по трубе. 

Можно ли судить об устойчивости движения по трубе, зная, что более простое движение по плоскости — устойчиво? Когда радиус трубы значителен, то весьма небольшой ее участок поверхности мало отличается от касательной к ней плоскости. Поэтому естественно было бы «упростить» задачу и движение шарика по трубе заменить движением по касательной плоскости. Основная, невозмущенная траектория у этих задач совпадает. Однако соседние к ней траектории на плоскости и на трубе имеют различный характер; первая всегда параллельна невозмущенной, а вторая по немногу от ходит от нее. Поэтому мы говорим, что движение по плоскости устойчиво, а по трубе неустойчиво, Следовательно, заменив одну задачу другой, мы бы тем самым подменили неустойчивость устойчивостью! Так, конечно, поступать нельзя. 

Естественно, что очень важно было выяснить, когда устойчивость сохраняется при упрощениях, или, как говорят, когда вопрос об устойчивости разрешается первым приближением. 

Сделал это замечательный ученый А. М. Ляпунов, разнообразные и глубокие исследования которого изложены в книге «Общая задача об устойчивости движения» (вышла в 1892 году).

Методы Ляпунова — Четаева

Исследование устойчивости невозмущенного движения шарика

Если при любом начальном отклонении (как бы мало оно ни было) волчок все равно когда-нибудь выйдет за пределы заданного круга, то невозмущенное движение волчка (его вращение в начальной точке) называется неустойчивым. Если же около начальной точки существует такой маленький кружок, что при всех начальных отклонениях, находящихся внутри этого кружка, волчок никогда не выйдет за пределы заданного большого круга, то его невозмущенное движение называется устойчивым. 

Нужно еще уточнить, что параметром, по отношению к которому определяется устойчивость движения, является отклонение точки касания волчка со столом от центра круга. К этому добавим, что возмущающих сил нет и что движение должно происходить бесконечно долго. 

ТЕОРИЯ И ЕЕ ЗАТРУДНЕНИЯ 

Каким же образом можно судить об устойчивости движения? Зная теперь определение Ляпунова, вернемся к нашему примеру с шариком, скатывающимся с наклонной плоскости. Назовем «то движение невозмущенным. Будем возмущать начальные данные — отпускать шарик из соседних точек. При этом все траектории шарика окажутся параллельными прямыми. 

Устойчиво ли невозмущенное движение шарика по отношению к расстоянию между траекториями? Вспомним определение устойчивости и зададим какие-нибудь границы, за которые никогда не должны выходить траектории шарика (эти границы аналогичны большому кругу, который принимался для волчка). Так как траектории шарика — параллельные прямые, то очевидно, что если начальные точки лежат внутри пунктирных прямых, то и все траектории будут всегда лежать в пределах этих границ. Отсюда мы делаем заключение об устойчивости невозмущенного движения шарика на наклонной плоскости по отношению к расстоянию между траекториями. 

Пусть теперь шарик скатывается вдоль трубы по внешней поверхности. Если считать, что возмущающих сил нет, то шарик будет катиться по прямой (образующая трубы). Движение это назовем невозмущенным. Очевидно, что если даже немного изменить начальную точку и пускать шарик из других точек, то траекториями его будут расходящиеся кривые. Исследование устойчивости невозмущенного движения шарика по отношению к расстоянию между траекториями показывает, что как бы близко ни были взяты другие точки, все равно когда-нибудь новые траектории пересекут любые заданные границы. Другими словами, невозмущенное движение шарика, скатывающегося по трубе, неустойчиво по отношению к расстоянию между траекториями.

Вопрос об устойчивости разрешается первым приближением

Математическая теория на основе устойчивости

Другое необъясненное слово в нашем первоначальном определении — «слабо». В каждом случае это понятие имеет различный смысл. Так, для игры в настольный теннис отклонение мячика под действием ветра на 20 сантиметров — это уже много, а отклонение искусственного спутника на 20 метров от заданной орбиты — это очень мало. Поэтому слово «слабо» в определении нужно заменить другими словами, имеющими одинаковый смысл для любой задачи. 

Наконец надо выяснить, что такое «возмущение». 

Раньше мы называли возмущениями все то, что может вызвать отклонение действительного движения от намеченного. 

Представим себе шарик, скатывающийся по наклонной плоскости из заданной точки. Пустим теперь его из соседней точки. Тогда он будет двигаться по другой траектории, которую назовем возмущенной. Но шарик может начать движение с заданной точки, а по пути мы толкнем его вбок — он покатится уже по другой, тоже возмущенной траектории. В первом случае говорят, что имеются возмущения начальных данных (другая начальная точка) и нет возмущающих сил, а во втором есть возмущающие силы (толчок в пути) и нет начальных возмущений. 

Какие же возмущения следует вводить в определение устойчивости: начальные, возмущающие силы или те и другие? Конечно, было бы хорошо, если бы определение охватывало все возможные случаи: ведь в действительности существуют возмущения обоих типов. Но, оказывается, если мы настолько расширим определение, то будет трудно создать теорию устойчивости. Поэтому нужно выделить главное и на основе такого определения создать теорию, постаравшись распространить ее методы, на другие случая, оставленные в стороне. 

Первым, кто дал ясное определение устойчивости и кто создал на основе этого определения точную математическую теорию, был выдающийся русский ученый, академик Александр Михайлович Ляпунов (1857—1918). 

Проиллюстрируем его определение устойчивости на примере. Вообразите, что вам удалось так хорошо закрутить волчок, что он вертится все время в одной точке стола. Будем называть это вращение волчка невозмущенным движением. Щелкните по волчку — он перескочит в другую точку и начнет потом как-то двигаться по столу. Больше его не трогайте и считайте момент щелчка за начальный. Тогда мы будем говорить, что волчку даны возмущения начальных условий, а возмущающих сил нет. Мы уже указывали, как трудно определить, что такое сильное или слабое влияние возмущений.

Числом это определить вообще нельзя: ведь задачи могут быть совершенно несравнимыми. Нужно поэтому дать какое-то качественное определение. Ляпунов поступает следующим образом (продолжим пояснение на том же примере). Назначим какую-нибудь границу — круг на столе, из которого волчок не должен выходить. Возможны два случая.

Исследование устойчивости невозмущенного движения шарика

Устойчивость в автомобиле строении

Уравнения, описывающие равновесия или движения тела, могут давать решения, которые в действительности оказываются неустойчивыми. Поэтому мало получить решение уравнений, нужно еще проверить, какое состояние ему соответствует: устойчивое или неустойчивое. 

При проектировании какого-нибудь сложного прибора сперва пишут для него уравнения; потом выясняют, будет ли устойчивым решение этих уравнений, то есть нужный режим работы прибора. 

Какие шины у автомобиля нужно накачивать сильнее: передние или задние? Каждый шофер знает: накачай он шины на «Волге» неодинаково, машину трудно будет удерживать на шоссе, она становится неустойчивой. В заводских инструкциях пишут, что у «Волги» давление воздуха должно быть одинаково в передних и задних шинах. Для «Победы» эта формула не подойдет: давление воздуха в передних камерах должно быть слабее. И все это для обеспечения устойчивости. 

В подавляющем большинстве случаев конструктор старается так спроектировать прибор, устройство, машину, чтобы малые возмущения лишь незначительно изменяли режим их работы, то есть чтобы этот режим был устойчив. В этом случае устойчивость — полезное явление. Но бывает и иначе. Известно, что, попав в штопор, самолет может погибнуть. Что происходило бы, если бы што- пор был устойчив? Тогда даже значительные повороты рулей не смогли бы повлиять на него. Поэтому самолет проектирует так, чтобы он мог выходить из штопора, чтобы даже малые повороты рулей легко выводили его из опасного состояния» 

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕРМИНА 

Проблемой устойчивости в механике занимались многие выдающиеся ученые. Она оказалась весьма сложной. Чтобы показать, какие здесь встречаются трудности, расскажем лишь об определении самого термина «устойчивость». Вспомним, как мы ввели этот термин. Равновесия « движения, слабо подверженные действию возмущений, мы назвали устойчивыми, а остальные неустойчивыми. На таком смутном определении не может строиться точная наука. Например,  движение автомобиля по шоссе можно характеризовать его скоростью, длиной пройденного пути, отклонением от осевой линии и другими параметрами. Возмущение — встречный ветер — влияет на первые два параметра и не влияет на третий. Ясно, что всегда нужно оговаривать, по отношению к каким параметрам проверяется устойчивость движения.

Математическая теория на основе устойчивости

Что такое устойчивость и неустойчивость

Создание сверхточных приборов, прогресс механики и многих связанных с нею областей науки и техники невозможны без использования теории устойчивости, созданной выдающимся русским ученым А. М, Ляпуновым. 

Огромную роль в развитии и применении этой теории сыграл член-корреспондент Академии наук СССР Николай Гурьевич Четаев (1902—1959], работы которого в этой области были отмечены в 1960 году Ленинской премией. 

Кроме теории устойчивости движения, Н. Г. Четаев занимался принципиальными и трудными вопросами аналитической механики, математической физики, теории дифференциальных уравнений. О некоторых вопросах теории устойчивости рассказывает в зтой статье И. Л. Хмелевский, бывший аспирант Н. Г. Четаева. 

Узкая ваза с большим букетом цветов неустойчива. Человеческая психика может быть устойчивой и неустойчивой. Экономика Советского государства устойчива. Погода в эту зиму неустойчивая… 

Даже тот, кто не может дать точного определения терминов «устойчивость» или «неустойчивость», хотя и смутно, но понимает смысл, вкладываемый в эти слова. Они употребляются в медицине и в общественных науках, в химии и в физике, в механике и в математике, в метеорологии и в биологии… Причина широкой распространенности этих слов — в общности понятий «устойчивость» и «неустойчивость». В самом деле, о чем они говорят? 

Некоторое явление считается устойчивым, если незначительные причины вызывают незначительные следствия. В другом случае, когда слабые воздействия (возмущения) существенно изменяют явление, то его считают неустойчивым. 

Проблема устойчивости, естественно, имеет очень большое значение для науки, техники, экономики, особенно когда мы впервые сталкиваемся с каким-нибудь явлением и надо предугадать, как оно будет протекать: устойчиво (закономерно) или неустойчиво. 

Теорию устойчивости удалось создать для явлений, ход которых математически описывается так называемыми обыкновенными дифференциальными уравнениями. Таким уравнениям подчиняется, например, равновесие и движение любого тела — от бильярдного шара до планеты. В дальнейшем мы будем говорить об устойчивости равновесий или движений, а это значит касаться лишь вопросов механики. 

Может ли карандаш стоять на отточенном конце? Если при помощи соответствующих уравнений найти все возможные положения равновесия карандаша, то окажется, что он должен стоять не только на плоском, но и на остром конце! Нетрудно догадаться, что последнее положение крайне неустойчивое. Известно, что тело находится в равновесии, если вертикаль, проведенная из его центра тяжести, пересекает площадь опоры. У карандаша, стоящего на остром конце, опорой служит кончик грифеля. Поэтому, пока пресловутая вертикаль пересекает эту точку, равновесие не нарушается. Однако на самом деле никогда нельзя так точно установить карандаш: и неровности стола, и колебания воздуха, и любые другие незначительные возмущения быстро отклонят вертикаль, и карандаш упадет. Вот почему никто не может похвастать тем, что видел карандаш, стоящий вертикально на своем остром конце. 

Устойчивость в автомобиле строении